Systemy proporcjonalnego podziału mandatów między partie, na podstawie wyników wyborów, a przed wyborami między okręgi wyborcze na podstawie danych demograficznych, oceniane są zwykle ze względu na zgodność ostatecznych podziałów z kryterium proporcjonalności. W pewnych sytuacjach odejście od prostej proporcjonalności w kierunku proporcjonalności degresywnej lub progresywnej jest jednak celowe i nie powinno być traktowane w kategoriach błędu. Kwestia ta była już analizowana w odniesieniu do degresywnie proporcjonalnego podziału mandatów, przede wszystkim w kontekście podziału mandatów między delegacje narodowe w Parlamencie Europejskim. W tym artykule koncentruję się natomiast na kwestii proporcjonalności progresywnej podziału mandatów między partie i proponuję sposób mierzenia siły progresji podziału. Nową miarę stosuję do opisu systemów wyborczych w krajach europejskich, a także do oceny wpływu wielkości okręgu wyborczego oraz zastosowanej metody podziału proporcjonalnego (metoda d’Hondta lub Sainte-Laguë) na progresję podziału mandatów, a więc na to, na ile dany system przy podziale mandatów premiuje partie duże.

The paper presents modifi cation of four nonprobabilistic procedures of fair division of a set of indivisible goods with money: Original Knaster, Adjusted Knaster, Equal Shares and Second Prices. The purpose of modification is to adjust the aforementioned methods to the problem of division of a set of goods in a situation of unequal entitlements. Extended versions of six formal properties, namely: strong Pareto optimality, proportionality, envyfreeness, equitability, strategy-proofness and anonymity are also presented. Moreover,proofs of procedures having the same formal properties in a situation of unequal entitlements as in a situation of equal entitlements are shown.

The paper presents and compares four nonprobabilistic procedures of fair division of a set of indivisible goods with money: Original Knaster, Adjusted Knaster, Equal Shares and Second Prices. The last two are presented for the first time in the article. The analysis concerns the formal properties of thosemethods, namely: strong Pareto optimality, proportionality, envy-freeness, fairness, strategy-proofness and anonymity. Moreover, classes of situations inwhich those procedures meet aforementioned properties will be compared.

Social choice theory is essentially about the constraints upon effective mechanisms for implementing desirable states of a society or a group, given the preferences and utilities of its members. Social choice theory is also, and much more generally, a conceptual examination of normative theories of society – theories that characterize what it is for state of affairs to be better from the social point of view. Social choice methods have different aims, for example democratic decision-making, epistemic decision-making, respecting individual rights of persons and groups, just distribution of goods. They are justified by the sets of postulates, which represent different basic social values.

The paper is a review of most interesting topics on the most renowned one element solution of cooperative games with side payments – the Shapley value. After an elementary introduction, we present the original definition of the Shapley value, basic formula and properties as well as main theorems characterizing the Shapley value by systems of axioms. The form and behaviour of the value of some specific games and types of games is demonstrated. Some applications are described, including those in cost sharing problems and as a power index in group decision making problems modelled as simple games. Also some particularly typical or interesting extensions and generalizations of the Shapley value are presented.

The dynamic development of experimental economics, in particular of experimental work in game theory, has contributed to the questioning of the basic assumptions of classical game theory: the rationality and self-interest assumption. In response, those assumptions are being modified and more realistic models of human behavior in situations which can be described as games are being developed. The article provides a short overview of the models that abandon the self-interest assumption. An account is given mostly of the distributional models (i.a. inequity aversion models, model of quasi-maximin preferences). The results of the experiments designed to test the rival distributional models of social preferences are also presented in the article, as well as of the experiments that assess to the role played by intention-based reciprocity in motivating human behavior.

Each of the EU enlargements raised problem of new apportionment of EP seats among EU member states. Each time solution was found in the process of multilateral negotiations, but since 1970s postulates to replace repeated negotiations by impartial mathematical formula have been raised, based on some concept of ”degressive proportionality”. When in 2007 EP started works on new apportionment before 2009 elections, one of the proposed solutions was ”parabolic method” of V. Ramirez, but in October 2007 EP again accepted allotment of seats not based on a mathematical formula, on the ground that ”apportionment is a political issue and can not be solved only on the mathematical base”. The paper presents the new proposal of degressively proportional apportionment method ua. The ua method leaves to the politicians decision about strength of the degressiveness of proportionality, but after this is politically accepted, the apportionment is based only on an of impartial mathematical formula.

Allocation of a set of indivisible and heterogeneous goods almost inevitably causes inequality of shares assigned to individual participants of the allocation. Klemens Szaniawski proposed two probabilistic principles of equal division: the Principle of Equal Chances of Satisfaction and the Principle of Equal Chances of Choice. He proved that even in a very simplified situation different concepts of equality are possible. Those concepts can conflict with one another and with the other requirements imposing to social decision making. Such way of investigation and comparing the principles of distributive justice predominates the social choice theory nowadays.

Artykuł analizuje problem racjonowania, czyli podziału pojedynczego, jednorodnego i doskonale podzielnego dobra pomiędzy agentów o różnych cechach, zwanych typami. Jeśli typ agenta jest dodatnią liczbą rzeczywistą (interpretowaną np. jako „roszczenie” agenta), twierdzenie Younga mówi, że przy założeniu ciągłości, metoda racjonowania jest spójna i symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy posiada reprezentację w postaci ciągłej funkcji parametrycznej. Twierdzenie to zostało uogólnione w niniejszym artykule na wszystkie ośrodkowe przestrzenie typów. Kolejne wyniki charakteryzują wszystkie, nie tylko ciągłe, metody parametryczne oraz podają proste kryterium rozstrzygające, kiedy metoda binarna (zdefiniowana jedynie dla dwóch agentów) może być rozszerzona do spójnej metody zdefiniowanej dla dowolnej liczby agentów. Omówione jest też zastosowanie do wielowymiarowego problemu bankructwa, ilustrujące korzyści z uogólnienia twierdzenia Younga.

Artykuł przedstawia propozycję typologii zasad sprawiedliwości dystrybutywnej. Wyróżnia się w nim trzy podstawowe relacje, które są różnymi kryteriami społecznych ocen podziałów dóbr. Są to: relacja sprawiedliwości Suppesa, relacja mniejszej zazdrości oraz relacja akceptacji. Stanowią one podstawę wyróżnienia – ze względu na sposób uzasadniania – trzech typów zasad sprawiedliwości. Typologia ta jest związana z trzema wymaganiami: bezstronności, równości i jednomyślności.

Praca zawiera przegląd wyników eksperymentalnych dotyczących gry przetargu-ultymatywnego i gier pokrewnych. Obserwowane w eksperymentach postępowanie graczy w tej grze zasadniczo odbiega od przewidywań teorii gier, formułowanych dla zachowania racjonalnych graczy w racjonalnym otoczeniu. Ponieważ gra jest bardzo prosta, rozbieżność ta nie jest skutkiem kłopotów graczy z analizą strategiczną gry. Przedstawiamy w sposób krytyczny inne możliwe wyjaśnienia tej rozbieżności, w szczególności postępowanie dyktowane poczuciem sprawiedliwości i reakcje emocjonalne. Opisujemy także badania eksperymentalne nad wpływem parametrów gry (wielkości wypłat, opcji zewnętrznych itp.) oraz zewnętrznych czynników (np. narodowości) na decyzje podejmowane przez graczy.